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技術士一次試験 専門科目 機械部門 R3 Ⅲ-35

令和3年

Ⅲ-35

水平に設置された円管内に流体が流れており、流れ方向の位置AからBの区間において、断面積がSAからSBへと緩やかに減少している。2AB間の圧力差を水銀柱で測ったところ、水銀柱の高さはHであった。重力加速度をg、流体の密度をρF、水銀の密度をρMとし、水銀の密度は流体の密度に対して十分に大きいと仮定してよい。

位置Aにおける円管内断面積平均速度として、最も適切なものはどれか。ただし、粘性の影響は無視してよい。

 

解答

 

解説

[解くために必要な知識]

ある系に流入する流体とそこから流出する流体の間には次の関係が成り立ちます。

 

◆ベルヌーイの定理

ρV2/2+P+ρgz=一定

◆質量保存の法則

 Q=AV=一定

 

ただし、

ρ:密度

V:流体速度

P:流体圧力

g:重力加速度

z:流体の高さ

Q:体積流量

A:流路断面積

 

V:流体速度

  

では問題を解いていきます。

 

A点における速度をVA、圧力をPA、高さをzAとして、B点におけるそれぞれをVBPBzBとします。

35.1に示すように円管は水平に置かれているためzA=zBとなります。

 

 

図35.1 問題の状態
図35.1 問題の状態

ベルヌーイの定理から

ρFVA2/2+PA=ρFVB2/2+PB

VA2/2+PA/ρF=VB2/2+PB/ρF

 

 

質量保存の法則から

QSAVA=SBVB

VB=SAVA/SB

 

ベルヌーイの式に代入します。

 

VA2/2+PA/ρF=(SAVA/SB)2/2+PB/ρF

SA2VA2/(2SB2)-VA2/2=PA/ρF-PB/ρF

(SA2-SB2)VA2/2SB2=(PA-PB)/ρF   (1)

 

また、圧力差と水銀の位置ヘッドρMghと流体の位置ヘッドρMghの関係は次の通りです。

PA-PB=gh(ρM-ρF)

 

これを(1)式に代入します。

(SA2-SB2)VA2/2SB2=gh(ρM-ρF)/ρF

(SA2-SB2)VA2=2SB2gh(ρM-ρF)/ρF

VA2={SB2/(SA2-SB2)}{2gh(ρM-ρF)/ρF}

 

VA=SB/(SA2-SB2)・√{2gh(ρM-ρF)/ρF}   //