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技術士一次試験 専門科目 機械部門 R1 Ⅲ-7

令和1年

Ⅲ-7

図に示すように、中実丸棒の一端が剛体壁に固定され、他端にねじりモーメントTが作用している場合を考える。中実丸棒の直径がn倍になると、中実丸棒に発生する最大せん断応力はk倍になる。次のうち、kとして最も適切なものはどれか。

解答

 

解説

[解くために必要な知識と周辺知識]

 

 

図7.1中実丸軸
図7.1中実丸軸

7.1に示すように長さL、直径d(半径R)の中実丸軸の片端を固定し、片端にトルクTを作用させます。このとき、先端のねじれ角をψ(プサイ)とします。

軸の横弾性係数をG、断面二次極モーメントをIpとするとねじれ角ψは次の通りです。

 

  ψ=TL/GIp

 

また、単位長さ当たりのねじれ角を比ねじれ角θと言います。

 

  θ=ψ/L

 

このときのせん断応力τ

 

  τ=Gγ=GRψ/L

 

ただし、γはせん断ひずみで次式です。

 

  γ=Rθ

 

ねじりトルクTとせん断応力τには次の関係があります。

 

  T=τIp/R 

τ=T/Ip/R=T/Zp

 

なお、断面時に極モーメントIpならびに極断面係数Zpは次の通りです。

 

Ip=πd4/32

Zp=πd3/16

 

よって、ねじれ角ψとせん断応力τは次の通りになります。

 

 

  ψ=32TL/πd4

  τ=16T/πd3

 

 

図7.2中空丸軸
図7.2中空丸軸

7.2に示すような中空丸軸の場合は次の通りです。

 

Ip=π(d24-d14)/32

Zp=π(d24-d14)/16d2

 

   ψ=32TL/G(d24-d14)

   τ=16d2T/π(d24-d14)

 

では問題を解いていきます。

 

 

中実丸棒に発生するせん断力τは次の通りです。

 

  τ=16T/πd3

 

元の直径をDとするとねじりモーメントTを作用させると生じるせん断力τ0は次の通りです。

  τ0=16T/πD3

 

いま、直径dは題意よりd=nDです。

 

このときのせん断応力は次の通りです。

 

 

  τ=16T/π(nD)3=1/n316T/πD3  //