水が鉛直に250m落下し、滝つぼの底の岩を打っている。水の温度の上昇量として、最も近いものはどれか。ただし、重力加速度は9.8m/s、水の比熱は4.2kJ/(kg・K)であり、水の蒸発や岩への伝熱などに伴う熱損失を無視する。

 

①0.06K

②0.1K

③0.2K

④0.6K

⑤1.8K

 

解答

④

 

解説

［解くために必要な知識と周辺知識］

◆エネルギー保存則

　位置エネルギーが熱エネルギーに変換される。

質量ｍの物質が高さzにあるとき、その位置エネルギーはmgzとなります。

熱エネルギーの変化量はdQです。

 

 

 図23.1に示すようにある系に熱量dQが与えられたとき、ある系の内部にdUのエネルギーが仕事をし、ある系の外部にdWの仕事をします。

 

ここで、mを気体の質量、pを気体の圧力、vを気体の体積、uを気体の内部エネルギーとします。

さらに、

dq：単位質量当たりの熱量（熱エネルギー）の変化量

dT：温度の変化量

ds：エントロピの変化量

 

◆エンタルピの定義と熱力学の第一基本式

エンタルピH、端子質量当たりのエンタルピh

H=mh

h=u+pv[J/kg]

dq=du+pdv

dq=dh-vdp

 

◆エントロピの定義と熱力学第二基本式

エントロピS、単位質量当たりのエントロピs

S=ms

ds=dq/T[J/kgK]

Tds=du+pdv

Tdq=dh-vdp

 

◆比熱の定義：1kgの物体温度を1K高める熱量

c＝dq/dT=Tds/dT　[J/(kg/K)]

c＝du/dT=Tpdv/dT=dh/dT-Tvdp/dT　[J/(kg/K)]

 

◆定容（定積）比熱c_vと定圧比熱c_p、比熱比κ

du=c_vdT

dh=c_pdT

c_p-c_v=R

 

κ=c_p/c_v

 

＊以上は熱力学の基本です。ここでは記述していませんが、熱力学の第一法則、第二法則とともに必ず覚えておきましょう。ここでは問題を解くための最低限の式の掲載にとどめていますが、余力があればもう少し深く学ぶことをオススメします。

 

では問題を解いていきます。

 

エネルギーの保存則および題意（熱損失を無視する）から、位置エネルギーが熱エネルギーに変換されて保存されます。つまり、

mgz=dQ=dmq

gz=dq

 

dq=gz=9.8×250=2,450

 

 

dT=dq/c=2,450/(4.2×1000)=0.58 K　　//

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