技術士一次試験 専門科目 機械部門 R2 Ⅲ-4

令和2年

Ⅲ-4

図に示すように、長さがLの棒1と棒2が接合され、剛体壁で無理なく固定されている。棒1と棒2の縦弾性係数をE1E2、断面積をA1A2、線膨張係数をα1、α2とする。それぞれの棒の温度を微小量ΔTだけ上昇させたとき、棒1に発生する応力σ1として、最も適切なものはどれか。

解答

 

解説

[解くために必要な知識]

長さL、線膨張係数αの材料に温度変化ΔTが生じたときの伸び量ΔL

ΔL=αLΔT  ・・・(1)

 

長さL、断面積A、縦弾性係数Eの材料に引張力Pを与えたときに生じる伸び量ΔL

ΔL=PL/EA  ・・・(2)

*Ⅲ-2を参照ください。

*上記は覚えておきましょう。 

 

では解いていきます

[手順1]棒2が無く、棒1だけの場合を想定して棒1の伸びΔL1を算出します。

ΔL1=α1LΔT  ・・・(a

 

[手順2]棒1が無く、棒2だけの場合を想定して棒2の伸びΔL2を算出します。

ΔL2=α2LΔT  ・・・(b

 

実際には長さLの棒1と長さLの棒2が存在し両端を固定されているため、温度変化による伸び量ΔL1及びΔL2は圧縮されることになります。(圧縮力Pが発生し、L+L=2Lという全長は変わらない。)

次にこの圧縮力Pによる棒1と2の縮み量を求めます。

 

 

[手順3]圧縮による棒1の縮みΔL1

ΔL1’=-PL/E1A1 ・・・(c

 

*圧縮力のためマイナス符号が付きます。

 

[手順4]圧縮による棒2の縮みΔL2

ΔL2’=-PL/E2A2 ・・・(d

 

温度変化による棒1、2の伸び量合計と棒12の圧縮量合計は等しくなります。

ΔL1+ΔL2=ΔL1’+ΔL2

 

α1LΔT+α2LΔT=-PL/E1A1-PL/E2A2

 

整理すると次式を得ます。

 

P=-(α1+α2)ΔTE1A1E2A2]/(E1A1+E2A2)

 

応力σ=P/Aより、

 

σ1=P/A1

 

σ1=-(α1+α2)A2E1E2ΔT]/(A1E1+A2E2) //

 

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