図に示す2自由度振動系には、2つの固有角振動数が存在する。その組み合わせとして、適切なものはどれか。なお、kはばね定数、mは質量を表す。

解答

②

[解くために必要な知識]

平成30年に全く同じ問題が出ています。Ⅲ-18

図22.1に示すように複数の質量とばねで構成される多自由度系における各質点の運動方程式は次の通りです。

m₁d²x₁/dt²+(k₁+k₂)x₁-k₂x₂=f₁　、m₂d²x₂/dt²-k₂x₁+(k₂+k₃)x₂-k₃x₃=f₂　・・・

m_n-1d²x_n-1/dt²-k_n-1x_n-2+(k_n-1+k_n)x_n-1-k_nx_n=f_n-1　、m_nd²x_n/dt²-k_nx_n-1+(k_n+k_n+1)x_n=f_n

この式を行列で表したものが図22.1の通りであり、さらに2自由度系の場合も図の通りです。

＊2自由度減衰の無い自由振動の行列式は複雑ですが、覚えておくと出題されたときにはほぼ確実に問題が解けます。

では解いていきます。

2自由度減衰のない自由振動において、

m₁=m₂=m

　k₁=k₂=k₃=k

となる場合、行列式は図22.2に示す通りです。

よって

　(2k-mω_n²)²-{(-k)×(-k)}=0

　m²ω_n⁴-4mkω_n²+3k²=0

　(ω_n²-k/m)(ω_n²-3k/m)

　ω_n²=k/m、3k/m　　//

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