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技術士一次試験 専門科目 機械部門 R3 Ⅲ-18

令和3年

Ⅲ-18

質量mの薄い板をばね定数kのばねで吊るして空気中で振動させたとき周期はTであった。図のようにこの板全体を液体中に浸して振動させると、液体の抵抗により減衰し、周期はTn(>1)倍となった。板に作用する抵抗力が板と液体の接触面積Sと速度に比例するとき、その比例係数として、適切なものはどれか。

 

 

解答

 

[解くために必要な知識]

質量mとばねkおよび粘性cを持つ系の直線運動方程式は次の通りです。

 md2x/dt2+cdx/dt+kx=0

 

 固有角振動数 ωn=(k/m)

 臨界減衰係数 ccr=2(mk)

 減衰比    ζ=c/ccr=c/2(mk)

固有角振動数 ωnc=(1-ζ2)ωn

固有周期   τ=2π/ωnc

  固有振動数  f=1/τ

 

 粘性係数cが臨界減衰係数ccrよりも大きなとき、自由振動は起きません(過減衰振動)。逆に小さいときは自由振動が起きます(不足減衰振動)。

 

*粘性を持つ系の基本式です。これらは覚えておきましょう。

 


では問題を解いていきます。

 

求める比例係数をAとします。板に作用する抵抗力が板と液体の接触面積Sと速度に比例するとありますから、この系は速度に比例する抵抗力=粘性を有する系であり、板に作用する抵抗力は AS dx/dt となります。

 

質量mとばねkおよび粘性cを持つ系の直線運動方程式は次の通りでした。

 

 md2x/dt2+cdx/dt+kx=0

 

液体に浸す前のこの系の周期Tは粘性を持たないため、

 

T=2π/ωn

 

液体に浸したときの周期をTnとすると、問題からTn倍になるので

 

Tn=n2π/ωn  (1)

 

一方で、粘性をもつ系の周期と固有角振動数は

 

Tn=2π/ωnc

 ωnc=(1-ζ2)ωn

 

となるため、

 

 Tn=2π/[(1-ζ2)ωn]  (2)

 

(1)(2)式から、

 

n2π/ωn=2π/[(1-ζ2)ωn]

 n=1/(1-ζ2)

 1-ζ2=1/n2

ここで、ζ=c/2(mk)を代入します。

 1-c2/4mk=1/n2

 c2/4mk=1-1/n2

 

 c2=4mk(n2-1)/n2

 c=2[mk(n2-1))/n

 

 題意から粘性係数cは比例係数Aと接触面積に比例します。c=AS よって

 

 AS=2[mk(n2-1))/n

 A=2[mk(n2-1))/nS  //