像関数F(s)=2/s(s+2)を逆ラプラス変換した原関数f(t)(t>0)として、最も適切なものはどれか。ただし、sはラプラス変換のパラメータとする。なお、初期値はすべて0とする。

 

 

　G(s)=(s²-2s+1)(s-2)/s(s+2)(s²+2s+1)

①　L[a・f(t)]=a・F(s)

 

②　L[f₁(t)]=F₁(s)、L[f₂(t)]=F₂(s)のとき、

　　L[f₁(t)±f₂(t)]=F₁(s)±F₂(s)

 

③　L[(dⁿ f(t))/dⁿ]=sⁿ F(s)−[s⁽ⁿ⁻¹⁾ f(0)+s⁽ⁿ⁻²⁾  df(0)/dt+・・・+d⁽ⁿ⁻¹⁾ f(0)/dt⁽ⁿ⁻¹⁾ ]

 

④　L[∫f(x)dx]=1/s・F(s)

　　積分区間は0～t

 

⑤　L[e^at f(t)]=F(s-a)

 

⑥　L[tⁿ f(t)]=(-1)ⁿ dⁿF(s)/dsⁿ

 

⑦　L[∫f(t-x)gxdx]=F(s)・G(s)

　　積分区間は0～t

 

＊上記のうち少なくとも①、②は覚えておきましょう。

 

では問題を解いていきます。

性質②より。

 

　L[f₁(t)]=F₁(s)、L[f₂(t)]=F₂(s)のとき、

　　L[f₁(t)±f₂(t)]=F₁(s)±F₂(s)

 

問題文より

 

　F(s)=2/s(s+2)=[(s+2)-s]/s(s+2)=(s+2)/s(s+2)-s/s(s+2)

　　　=1/s-1/(s+2)

 

　L^-1[F(s)]=L^-1[1/s-1/(s+2))]=L^-1[1/s]-L^-1[1/(s+2))]

　

ラプラス変換表から

　　L^-1[F(s)]=u(t)-e^-2t　　　

u(t)は単位ステップ関数であり、t>0でu(t)=1のため

　　L^-1[F(s)]=1-e^-2t　　　//

 

 

[別解]

解答選択をラプラス変換することでも解答を得られます。

 

　　f(t)=∫(1-e-^2t)dt=1/s-1/(s+2)=2/s(s+2)　　//

 

 

 

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