図のように、質量が無視できる3つのばね（ばね定数k_a、k_b）、及び質量mのおもりからなる系がある。このおもりは、つりあいの位置を中心に上下に振動することができる。このときの固有角振動数として最も適切な物はどれか。

解答

①

解説

［解くために必要な知識と周辺知識］

ばね定数kのばねを有する質量mの運動方程式は次の通りです。

　md²x/dt²+kx=0

このときの固有角振動数ω_nは次の通りです。

　ω_n=√(k/m)

複数のばねを有する場合、合成ばね定数は図19.1に示すように3つのパターンに分けて求められます。

＊合成ばね定数の求め方は覚えておきましょう。

では問題を解いていきます。

まずこの系の合成ばね定数Kを求めます。

質量mの上側にk_aとk_bが直列に繋がっています。この2つの合成ばね定数をk'とします。

　　k’=k_ak_b/(k_a+k_b)

k'と質量mの下側にあるkaが質量mを挟み込む形となっています。よって全体の合成ばね定数Kは次の通りです。

　K=k’+k_a=k_ak_b/(k_a+k_b)+k_a=k_a(k_a+2k_b)/(k_a+k_b)

よって問題の系における固有角振動数ω_nは次の通りです。

　ω_n=√(K/m)=√[k_a(k_a+2k_b)/m(k_a+k_b)]　　　　//

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