令和1年
Ⅲ-2
図に示すように、2本の棒からなるトラス構造において、接点Oに下向きの荷重Pが作用し、破線のように変形した場合を考える。各接点は滑節で、棒の自重は無視できるものとするとき、接点Oの下向きの微小変位δとして、最も適切なものはどれか。ただし、棒の断面積をA、縦弾性係数をEとする。
![図2](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/sf4944586e5afa2de/image/i028ff18a2decb9cd/version/1638518660/image.jpg)
解答
⑤
解説
[解くために必要な知識]
ウィリオの作図法を使います。ウィリオの作図法とは、次の手順で変位を求めるものです。
まず2本の棒材が滑節(ピン結合)で図2.1に示すように壁面に固定されていてO点に鉛直下向きの荷重Pがかかっている場合を考えます。
![図2.1](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=664x10000:format=jpg/path/sf4944586e5afa2de/image/i0127d7a972e37d4c/version/1638518703/image.jpg)
このときO点の移動先O‘を求める手順は次の通りです。
①部材1の伸び、δ1を求める。
②部材2の伸びδ2を求める。
③O点から部材1がδ1延びた先を描く。
④上記③の先端から90°の線を描く。
⑤O点から部材2がδ2延びた先を描く。
⑥上記⑤の先端から90°の線を描く。
⑦上記④と⑥の交点がO点の移動先O’となる。
では問題を解いていきます。
上側の棒を1、下側の棒を2とします。Pを作用させたとき、図2.2に示すように棒1に生じる張力をT1、棒2に生じ圧縮力をT2とします。それぞれを水平方向hと鉛直方向vの成分に分解します。
![図2.2](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/sf4944586e5afa2de/image/i1b24c01f4ba503ef/version/1638518741/image.jpg)
◆まず水平方向および鉛直方向の力の釣り合いを考えます。
水平方向 T1h+T2h=0 (1)
鉛直方向 T1v+T2v=P (2)
◆次に各分力を求めます。
水平方向
T1h=T1sinθ
T2h=-T2sinθ
この2式と(1)式から次の関係が得られます。
T1=T2 (3)
鉛直方向
T1v=T1cosθ
T2v=T2cosθ
この2式と(2)(3)式から次の関係が得られます。
P=2Tcosθ
T=P/2cosθ (4)
◆さらに各棒の伸びを求めます。
棒1の長さL1=L/siinθ (5)
棒1の伸びδ1=TL1/AE (6)
(4)、(5)式を(6)式に代入します。
δ1=PL/(2AEsinθcosθ)
ここで、図2.3に示すようにウィリオの作図法からδとδ1には次の関係があります。
δ=δ1/cosθ
δ=PL/(2AEsinθcos2θ) //
![図2.3](https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/dimension=192x10000:format=jpg/path/sf4944586e5afa2de/image/i6527cd7b7f38ff6c/version/1638518803/image.jpg)
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