図に示すように、2本の棒からなるトラス構造において、接点Oに下向きの荷重Pが作用し、破線のように変形した場合を考える。各接点は滑節で、棒の自重は無視できるものとするとき、接点Oの下向きの微小変位δとして、最も適切なものはどれか。ただし、棒の断面積をA、縦弾性係数をEとする。

解答

⑤

解説

［解くために必要な知識］

　ウィリオの作図法を使います。ウィリオの作図法とは、次の手順で変位を求めるものです。

まず2本の棒材が滑節（ピン結合）で図2.1に示すように壁面に固定されていてO点に鉛直下向きの荷重Pがかかっている場合を考えます。

このときO点の移動先O‘を求める手順は次の通りです。

　　①部材1の伸び、δ1を求める。

　　②部材2の伸びδ2を求める。

　　③O点から部材1がδ1延びた先を描く。

　　④上記③の先端から９０°の線を描く。

　　⑤O点から部材２がδ２延びた先を描く。

　　⑥上記⑤の先端から９０°の線を描く。

　　⑦上記④と⑥の交点がO点の移動先O’となる。

では問題を解いていきます。

　上側の棒を1、下側の棒を2とします。Pを作用させたとき、図2.2に示すように棒1に生じる張力をT1、棒2に生じ圧縮力をT2とします。それぞれを水平方向hと鉛直方向vの成分に分解します。　

◆まず水平方向および鉛直方向の力の釣り合いを考えます。

水平方向　T_1h+T_2h=0    (1)

鉛直方向　T_1v+T_2v=P 　 (2)

◆次に各分力を求めます。

　水平方向

　　T_1h=T₁sinθ

T_2h=-T₂sinθ

この2式と(1)式から次の関係が得られます。

　　T₁＝T₂ 　　　　　　　(3)

　鉛直方向

　　T_1v=T₁cosθ

　　T_2v=T₂cosθ

この2式と(2)(3)式から次の関係が得られます。

　　P=2Tcosθ　

　　T=P/2cosθ　　　　　(4)

◆さらに各棒の伸びを求めます。

　棒1の長さL₁=L/siinθ　(5)

　棒1の伸びδ₁=TL₁/AE　(6)

　(4)、(5)式を(6)式に代入します。

　　δ₁=PL/(2AEsinθcosθ)

ここで、図2.3に示すようにウィリオの作図法からδとδ₁には次の関係があります。

　　δ=δ₁/cosθ

　　δ=PL/(2AEsinθcos²θ)　　//

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