図に示すように断面積Aの曲がり管が一体化した剛体棒を介して点Xで固定支持されている。曲がり管の中には密度ρ、平均流速Vの液体が流れ、定常状態となっている。このとき、点Xに作用するトルクTxを表す式として最も適切なものはどれか。ただし、断面1と断面2におけるゲージ圧をそれぞれp₁、p₂(p₁>p₂)とし、断面1９と断面2における中心軸と点Xｎ距離をそれぞれh1,h2とする。また、断面1と断面2にトルクは作用しないものとし、重力の影響は無視してよい。

解答

②

解説

［解答に必要な知識］

非圧縮性・定常流における運動量の法則

　ΣF_x=ρQ(V_2x-V_1x)

　ΣF_y=ρQ(V_2y-V_1y)

図34.1に示すように流路断面積A₁をもつ流体が圧力p₁、速度V₁で曲がり壁面に角度α₁で衝突し、壁面に沿って角度α₂の方向に圧力p₂、速度V₂で流出したとします。

このとき流体が壁面に及ぼすx方向、y方向それぞれの力は次の通りです。

１．壁面が流体に及ぼす力

　X方向　-F_x

　Y方向　-F_y

２．流体の圧力差により発生する力

　X方向　p₁A₁cosα₁－p₂A₂cosα₂

　Y方向　p₁A₁sinα₁－p₂A₂sinα₂

３．速度の分解

　X方向 V_1x=V₁cosα₁、 V_2x=V₂cosα₂

　Y方向 V_1y=V₁sinα₁、 V_2y=V₂sinα₂

運動量の法則から、１．壁面が流体に及ぼす力+２．流体の圧力差により発生する力=ρQ(V₂-V₁)となります。

　F_x=ρQ(V₁・cosα₁ーV₂・cosα₂)+p₁A₁・cosα₁ーp₂A₂・cosα₂

　F_y=ρQ(V₁・sinα₁ーV₂・sinα₂)+p₁A₁・sinα₁ーp₂A₂・sinα₂

ここで、α₁=0（流体の流入角度がゼロ）とするとcosα₁=1、sinα₁=0となるので、上式は次の通りになります。

　F_x=ρQ(V₁ーV₂・cosα₂)+p₁A₁ーp₂A₂・cosα₂

　F_y=ρQV₁・sinα₁ーp₂A₂・sinα₂

＊一番最後に出てくる2式は覚えておきましょう。

では問題を解いていきます。

断面1の流体が持つ力をF₁とします。流体の流入角度α₁=0、流体の流出角度α₂=0のため、断面1、２それぞれにおける流体の力F₁、F₂は次の通りになります。

　F₁=p₁A+ρAV²

　F₂=p₂A+ρAV²

それぞれの力により生じるトルクは次の通りになります。

　T₁=T₁h₁=(p₁A+ρAV²)h₁

　T₂=T₂h₂=(p₂A+ρAV²)h₂

点Xに作用するトルク

　T_x=T₂ーT₁=(p₂A+ρAV²)h₂ー(p₁A+ρAV²)h₁

　T_x=(p₂h₂ーp₁h₁)A+ρAV²(h₂－h₁)　　　//

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