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技術士一次試験 専門科目 機械部門 R3 Ⅲ-11

令和3年

Ⅲ-11

図のように伝達関数G(s)に入力u(t)を加えたときの定常出力y(t)として、適切なものはどれか。

 

 

解答

 

解説

[解くために必要な知識]

平成23年度に全く同じ問題が出ています。(Ⅳ-21

 

【ラプラス変換】

代表的なラプラス変換表を図11.1に示します。

*ラプラス変換表は問題で与えられる場合も多いのですが、本問のように与えられないこともあります。余力があれば一通り覚えましょう。

 

 

図11.1 ラプラス変換表
図11.1 ラプラス変換表

【三角関数】

三角関数の合成

 asinθ+bcosθ=(a2+b2)×sin(θ+α)

 

 cosα=a/(a2+b2)

sinα=b/(a2+b2)

tanα=b/a

 

*三角関数はこれ以外にも、加法定理や倍角・半角の公式、積和の公式などは覚えておきましょう。

 

では問題を解いていきます。

 

入力信号u(t)=sint をラプラス変換します。

 

 U(s)=L[sint]=1/(s2+1)

 

伝達関数G(s)U(s)から出力関数Y(s)を求めます。

 Y(s)=G(s)×U(s)=10/(s+2)×1/(s2+1)

 Y(s)=2/(s+2) + (-2s+4)/(s2+1)

 

*この展開は部分分数分解です。

 10/(s+2)×1/(s2+1)=A/(s+2)+(Bs+C)/(s2+1)

と置きます。右辺を通分して整理すると次式を得ます。

 (A+B)s2+(2B+C)s+A+2C=10

よって

 A+B=0

 2B+C=0

 A+2C=10

この3式から次を得ます。

 A=2

 B=-2

 C=4

よって、

 10/(s+2)×1/(s2+1)=(-2s+4)/(s2+1)

となります。

 

 

これを逆変換します。

 y(t)=2L-1[1/(s+2)] - 2L-1[s/(s2+1)] + 4L-1[1/(s2+1)]

 y(t)=2e-2t - 2cost + 4sint

 

定常時、つまりt→∞において、上式の第一項2e-2tはゼロになります。

よって、

 y(t)=-2cost + 4sint

三角関数の合成より、

 y(t)=(22+42)sint(t+α)=20×sin(t+α)

 tanα=-2/4=-1/2 、 α=tan-1(-1/2)  //