令和3年
Ⅲ-14
図に示すフィードバック制御系を考える。ここでR(s)、Y(s)、E(s)は、それぞれ目標値r(t)、出力y(t)、偏差e(t)のラプラス変換であり、E(s)=R(s)-H(s)Y(s)で表される。定常偏差はlime(t) [t→∞]であり、G(s)H(s)は次式のように定められている。
G(s)H(s)=(s+2)/(s3+2s2+2s+1)
目標値を単位ステップ入力とするとき、定常偏差として、適切なものはどれか。
注意！
この問題における系の伝達関数はG(s)/［1+G(s)H(s)］となります。問題文でG(s)H(s)は与えられていますが、G(s)は与えられていないため、この問題を解くことはできないように思います。
もし仮に、図14.1に示すようにG(s)とH(s)が直列で結合されていれば、その伝達関数はG(s)H(s)/［1+G(s)H(s)］となり、解くことができます。
ここでは図14.1の状態であるとして解説を進めていきます。
解答
②
[解くために必要な知識]
平成22年度に類似の問題が出ています。（Ⅳ-18）
◆フィードバック制御における定常偏差の定義
「フィードバック制御系の入力x(t)と出力y(t)の差が偏差e(t)=x(t)-y(t)であり、時間が無限大の時の偏差を定常偏差または残留偏差と呼ぶ。」
◆最終値定理
最終値定理とはシステムの定常値（収束した値）を求める定理で次式で表されます。
lim f(t)=lim sF(s)
t→∞ 、 s→0
◆単位ステップ入力
図14.2に示すように、ある時間t以降1が入力されるようなものを（単位）ステップと言います。
同図に併せて示すように、ある時間tの瞬間的な∞の入力をインパルス、時間経過に比例して増加する入力をランプと言います。
インパルス入力f(t)をラプラス変換するとF(s)=1
ステップ入力f(t)をラプラス変換するとF(s)=1/s
ランプ入力f(t)をラプラス変換するとF(s)=1/s2
となります。
＊さかのぼると平成22年に類似が出ていることからも分かるように、最終値定理に関する問題は出題率が低いです。余力があれば覚えておきましょう。
フィードバック制御系の伝達関数の求め方、入力形態（インパルス、単位ステップ、ランプ）やそのラプラス変換は覚えておきましょう。
では問題を解いていきます。
図14.1の状態における伝達関数は次の通りです。
G(s)H(s)/［1+G(s)H(s)］
入力は単位ステップ入力であり、そのラプラス変換はR(s)=1/sとなります。
よって、出力のラプラス変換Y(s)は次の通りです。
Y(s)=G(s)H(s)/［1+G(s)H(s)］×1/s
最終値定理から、
lim y(t)=lim sY(s)=lim G(s)H(s)/［1+G(s)H(s)］
(y→∞ 、 s→0)
ここで問題より、G(s)H(s)=(s+2)/(s3+2s2+2s+1)を代入します。
lim y(t)=lim (s+2)/(s3+2s2+2s+1)/［1+(s+2)/(s3+2s2+2s+1)］
lim y(t)=lim (s+2)/(s3+2s2+2s+1+s+2)
lim y(t)=lim (s+2)/(s3+2s2+3s+3)
s→0より、
lim y(t)=2/3
定常偏差は入力（単位ステップ=1）と出力（2/3）の差であるため
e(t)=1-2/3=1/3 //
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