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技術士一次試験 専門科目 機械部門 R3 Ⅲ-21

令和3年

Ⅲ-21

図に示すように、質量mの機械がばね定数kのばねを介して床に固定されている。この機械に角周波数ωの正弦波状の力fが作用し、定常状態となったときに、床に伝達される周期的な力Fの振幅をfの振幅の50%未満にしたい。ばね定数の条件として、適切なものはどれか。

 

 

 

解答

 

[解くために必要な知識]

 

21.1に示すようにmkcからなる系に周期的な強制力Fsinωtを作用させます。

図21.1 強制力をうける1自由度系
図21.1 強制力をうける1自由度系

このとき、

 

運動方程式

 md2x/dt2+cdx/dt+kx=f(x)=Fsinωt

 d2x/dt2+c/mdx/dt+ωn2x=f(x)=F/msinωt

 ただし、ωn2=k/m

 

途中の計算はとばしますが、変位xと振幅aは図の通りです。

 

ダンパが無い場合、減衰比ζはゼロとなり、振幅は次の通りになります。

 

 a=F/k{(1-ω2/ωn2)}

 

*振幅aの式は、ダンパが無い場合は覚えておきましょう。できればダンパがある場合も覚えておきましょう。

 

では問題を解いていきます。

 

質量mとばねkから構成される系に外部強制力fsinωtが作用しています。

この系における振幅は次の通りです。

 

 a=f/{k(1-ω2/ωn2)}=fωn2/{k(ωn2-ω2)}

 a=fk/{mk(k/m-ω2)}=f/{m(k/m-ω2)}

 

 a=f/(k-mω2)

 

これが質点mの振幅、つまり最大変位です。変位がaに達したとき、ばねはaだけ縮んでいる(あるいは伸びている)ことになります。つまりこのときばねの力をFsとすると、Fs=kaとなります。

 

床面からはこのばね力に反発する力Fが発生します。

つまり

 F=-ka

となります。

これが機械に作用する力f50%未満、F1/2fとなる条件を求めます。

 

 F=-ka<1/2f

 a=f/(k-mω2)

よって、

 -kf/(k-mω2)<1/2f

 -2k<k-mω2

 -3k<-mω2

 

  k<1/3mω2     //