図に示すように、同一材質、同一長さで、外形寸法が等しく断面積費が２：１の中実丸棒Aと中空丸棒Bの一端が剛体壁に固定され、他端に等しいねじりモーメントTが作用しているとき、中実丸棒Aに生じる最大せん断応力τ_Aと中空丸棒Bに生じる最大せん断応力τ_Bのτ_B/τ_A比の値はどれか。

解答

②

解説

［解くために必要な知識］

平成30年度に全く同じ問題が出ています。

図7.1に示すように、片端を固定し、反対側にトルクTをかけられた長さL、半径Rの中実丸軸に関する各種関係式は次の通りです。

図7.2に示すように、片端を固定し、反対側にトルクTをかけられた長さL、半径Rの中空丸軸に関する各種関係式は次の通りです。

・極断面係数　　Zp=π(d₂⁴-d₁⁴)/16d₂

・断面二次極モーメント　Ip=π(d₂⁴-d₁⁴)/32

・ねじり角　　　ψ=TL/GIp　⇒　ψ=32TL/Gπ(d₂⁴-d₁⁴)

・比ねじり角θ　θ=ψ/L

・せん断ひずみ　γ=Rθ

・せん断応力　　τ=Gγ=GRψ/L

・ねじりトルクTとせん断応力τの関係

　T=τIp/R　、τ=T/(Ip/R)=T/Zp　⇒　τ=16d₂T/π(d₂⁴-d₁⁴)

＊少し複雑に見えますが、まずは中軸丸棒のねじりの関係式を覚えましょう。中空丸棒はそれとの対比で覚えましょう。

軸の引張とねじりの関係は似ています。参考までに図7.3にまとめます。

では問題を解いていきます。

◆中実丸棒に生じる最大せん断応力τ_A

　τ_A=16T/πd³

◆中空丸棒に生じる最大せん断応力τ_B

　内径d₁=d/√2

　外径d₂=d

　τ_B=16dT/π[d⁴-(d/√2)⁴]

　τ_B=16T/πd³(1-1/4)=16T/(3/4)πd³

　τ_B=4/3×16T/πd³　　//

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