図に示すように、一辺が40mmの正方形断面を有する長さ2mの鋼製の柱が一端固定・他端自由の状態で軸方向に圧縮力が負荷されている。このときの座屈荷重として最も近いものはどれか。ただし、鋼の縦弾性係数を200GPaとする。

 

 

 

①421kN　②211kN　③105kN

④53kN 　⑤26kN

 

 

解答

⑤

 

解説

［解くために必要な知識］

【オイラーの座屈荷重】

図8.1に示すように、オイラーの座屈荷重Pcrは支持条件によって変わります。

 

 

◆片端固定・他端自由

　Pcr=π²EI/4L²

 

◆片端支持・他端支持

　Pcr=π²EI/L²

 

◆片端固定・他端固定

　Pcr=4π²EI/L²

 

◆片端固定・他端支持

　Pcr=2.046π²EI/L²

 

＊これは全て覚えておきましょう。

 

 

【断面性能】

角棒と角パイプの断面係数zと断面二次モーメントIを図8.2に、丸棒と丸パイプの断面係数zと断面二次モーメントIを図8.3に示します。

 

 

◆角棒

　z=bh²/6

　I=bh³/12

 

◆角パイプ

　z=(bh³-b₁h₁³)/6h

　I=(bh³-b₁h₁³)/12

 

◆丸棒

　z=πD³/32

　I=πD⁴/64

 

◆丸パイプ

　z=(πD⁴-πd⁴)/32D

　I=(πD⁴-πd⁴)/64

 

＊これらは代表的な断面性能です。覚えておきましょう。

 

では問題を解いていきます。

 

問題のパターンは片端固定・他端自由の状態ですので、オイラーの座屈荷重Pcrは次の通りです。

　Pcr=π²EI/4L²

 

ここで問題の柱は正方形断面ですのでb=h=aとし、その断面二次モーメントは次の通りです。

 

　I=I=bh³/12=a⁴/12=40⁴/12=213,333 mm⁴

 

 

オイラーの座屈荷重にこれと問題で与えられている数値を代入します。

 

　Pcr=π²×200×10³×213,333 /（4×2000²）=26,318.9 N

 

＊200 GPa=200×10³ MPa=200×10³ N/mm²

 

26,318.9 N≒26kN　　//

 

 

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